Russian Federation
Russian Federation
The paper presents an introduction to the concept of a function, what is considered a given function and under what conditions. The scope of the function and their examples are also considered. The advantage and disadvantage of constructing a graphical function is observed – visibility and inaccuracy. Certain types of functions (power, exponential, logarithmic, trigonometric) and their type are shown, as well as what is needed to plot them. The purpose of the work is to show how to graphically define different types of functions.
function, introduction to the concept of function, range of acceptable values, graph, power function, exponential function, logarithmic function, trigonometric function, range of values, graphical method, coefficient, straight line, parabola, hyperbola, examples of graphs of functions, advantage and disadvantage of constructing a graphical function
Правило соответствия между группами X и Y называется функцией. Согласно этому правилу, для каждого элемента группы X можно найти один элемент группы Y.
Функция считается заданной, если:
- определяет область действия определения функции X;
- установлен диапазон значений для функции Y;
- правило (закон) соответствия. Каждому значению аргумента существует только одно значение функции. Для ясности функции, такое требование обязательно.
Все допустимые значения аргументов, для которых функция 
определяется диапазоном функций. Область допустимых значений функции – это совокупность Y всех активных значений функций, которые подходят для данной области.
Рисунок 1 – Примеры функций
Если использовать графический метод для построения функции , это будет не всегда точно в поиске корней. Такой метод имеет преимущество перед другими методами, он помогает наглядно показать значения. В таких науках как физика, использование графического метода является частым. Он используется для определения функций, и графики являются единственным доступным методом для этого. Также этот метод не редко используется в технике.
Функция бывает:
- степенная (линейная, квадратичная, дробно – рациональная, корень);
- показательная;
- логарифмическая;
- тригонометрическая.
Степенной функцией называют такую функцию, которая имеет вид 
. Где 
является показателем степени и действительным числом, 
играет роль некоторого коэффициента, отличного от нуля.
Линейная функция – это функция, которая имеет вид 
. является угловым коэффициентом, а 
− это свободный член. Для построения графика такой функции необходимо задать два значения аргумента X и Y. (значения могут быть любыми). Такая функция на графики изображается прямой.
Рисунок 2 – Линейная функция
Функция вида 
называется квадратичной функцией. Где
– старший коэффициент,
– коэффициент при 
, 
– свободный член. Графиком квадратичной функции является парабола. От знаков параметров зависит вид параболы:
- ветки параболы направлены вверх;
- ветки параболы направлены вниз;
- определяет положение вершины параболы;
- определяет координату пересечения параболы с осью ординат: 
.
Рисунок 3 – Квадратичная функция
– функция такого вида называется рациональной дробью, где в числителе многочлен степени 
, а в знаменателе многочлен степени 
.
Рисунок 4 – График функции – гипербола
Функция корня – это функция вида 
, где 
при 
; 
при 
. Графиком этой функции является перевернутая ветвь параболы.
Рисунок 5 – Функция корня
Показательная функция – это функция, которая имеет вид 
. В этой функции переменная является показателем степени, поэтому функция получила название показательной. При изменении переменной соответственно и меняется показатель степени. В таком случае основание остаётся прежним.
Показательная функция имеет следующие основные функции:
- область определения - набор действительных чисел, то есть
, так как степень 
, где 
, определена для любого действительного значения переменной 
; - область значений - множество положительных чисел, то есть
, так как при 
и любом выполняется неравенство 
; - Нулей функции нет, так как ни при каких значениях переменной показательная функция не обращается в 0. Промежуток
является промежутком знакопостоянства функции; - Показательная функция непрерывна;
- Когда значение
функция возрастает, а убывает она при 
; - График показательной функции всегда проходит через точку (0;1), так как
.
Рисунок 6 – Показательная функция
Функция 
, где 
называется логарифмической. Она определена при 
, а множество ее значений — вся числовая ось. Показательная и логарифмическая функции являются взаимно обратными.
Рисунок 7 – Логарифмическая функция
Тригонометрические функции основаны на прямоугольных треугольниках. Для определения функций, разбивается окружность на четыре части и определяются координаты точки, которая соответствует углу.
угла - это значение координаты оси 
, 
- значение координаты оси 
, а 
и 
- это отношение координат.
К таким функциям относятся:
- Прямые (
); - Производные (
); - Обратные (
).
Рисунок 8 – Прямые тригонометрические функции
Рисунок 9 – Производные тригонометрические функции
Рисунок 10 – Обратные тригонометрические функции
1. Vidy stepennyh funkciy — grafiki i uravneniya. URL: https://wika.tutoronline.ru/algebra/class/11/vidy-stepennyh-funkczij--grafiki-i-uravneniya (data obrascheniya: 28.02.2024).
2. Vidy funkciy. Grafiki funkciy // InternetUrok | Distancionnoe obuchenie, onlayn-obrazovanie. – URL: https://interneturok.ru/lesson/repetitorskiy-proekt/prakticheskie-zanyatiya-po-podgotovke-k-ege-po-matematike/tema-4-pokazatelnye-i-logarifmicheskie-funktsii-trigonometriya/vidy-funktsiy-grafiki-funktsiy (data obrascheniya: 28.02.2024).
3. Drobno-racional'naya funkciya // Faylovyy arhiv dlya studentov. StudFiles. URL: https://studfile.net/preview/7830967/page:4/ (data obrascheniya: 28.02.2024).
4. Lekcii po matematike. Razdel "Funkcii" // Obrazovatel'naya social'naya set'. URL: https://nsportal.ru/shkola/matematika/library/2022/04/13/lektsii-po-matematike-razdel-funktsii-1-kurs-spo (data obrascheniya: 28.02.2024).
5. Logarifmicheskaya funkciya, ee svoystva i grafik // YaKlass. URL: https://www.yaklass.ru/p/algebra/11-klass/logarifmy-pokazatelnaia-i-logarifmicheskaia-funktcii-9160/svoistva-logarifmicheskoi-funktcii-i-ee-grafik-9167/re-ec4dece9-1c52-4123-8e5d-f460c69d83b8 (data obrascheniya: 28.02.2024).
6. Oblast' dopustimyh znacheniy (ODZ): funkcii, v kvadratnom uravnenii, obyknovennoy drobi. URL: https://wiki.fenix.help/matematika/odz (data obrascheniya: 28.02.2024).
7. Obratnye trigonometricheskie funkcii // Vikipediya – svobodnaya internet-enciklopediya. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Obratnye_trigonometricheskie_funkcii (data obrascheniya: 28.02.2024).
8. Pokazatel'naya funkciya // Faylovyy arhiv dlya studentov. StudFiles URL: https://studfile.net/preview/7410914/page:2/ (data obrascheniya: 28.02.2024).
9. Postroenie grafikov slozhnyh funkciy. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/postroenie-grafikov-slozhnyh-funktsiy (data obrascheniya: 28.02.2024).
10. Postroenie grafikov trigonometricheskih funkciy s pomosch'yu lineynyh preobrazovaniy. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/postroenie-grafikov-trigonometricheskih-funktsiy-s-pomoschyu-lineynyh-preobrazovaniy (data obrascheniya: 28.02.2024).
11. Postroenie grafikov funkciy. URL: https://resh.edu.ru/subject/lesson/4016/conspect/225681/ (data obrascheniya: 28.02.2024).
12. Trigonometricheskie funkcii // Foksford. URL: https://foxford.ru/wiki/matematika/trigonometricheskie-funktsii?utm_referrer=https%3A%2F%2Fyandex.ru%2F (data obrascheniya: 28.02.2024).
13. Funkcii, ih svoystva i grafiki // Finansovyy universitet pri Pravitel'stve Rossiyskoy Federacii. URL: http://www.fa.ru/fil/surgut/student/Documents/Funkcii%2C%20ih%20svoystva%20i%20grafiki.pdf (data obrascheniya: 28.02.2024).
14. Poluektov A.V., Makarenko F.V., Yagodkin A.S. Ispol'zovanie storonnih bibliotek pri napisanii programm dlya obrabotki statisticheskih dannyh // Modelirovanie sistem i processov. – 2022. – T. 15, № 2. – S. 33-41.
