Russian Federation
Russian Federation
Russian Federation
Russian Federation
The paper gives a definition of the algebraic Routh-Hurwitz stability criterion. Its operating principle, examples of application, advantages, disadvantages and properties are considered. The article describes how the criteria provide a specific method of system stability based on the characteristic equation.
Operating principle of the stability criterion, definition of the criterion, power equations, examples of application of the criterion, advantages and disadvantages
Введение
Начнем с того что нам нужно рассмотреть и разобраться в алгебраическом критерий устойчивости Рауса-Гурвица. Критерий стабильности Рауса-Гурвица это интересная математическая процедура, которая позволит нам оценить находятся ли какие либо корни линейного многочлена в правой полуплоскости. Таким образом это имеет очевидное применение в разработке систем управления, потому что мы знаем, что характеристическим уравнением для большинства фактически для всех линейных систем, является линейные многочлены и его корни определяют стабильность, производительность и характеристики системы. Но сам метод не указывает на степень стабильности или нестабильности, из-за этого эти критерии объединяют.
Критерий алгебраической устойчивости: описание, особенности и примеры
Теперь, когда мы поняли, о чем наша статья, давайте разберем определение критерия алгебраической устойчивости. Что же такое стабильность? Устойчивость представляет собой способность автоматического управления вернуться после недолгой внешней нагрузки к исходному состоянию. Достаточное условие устойчивости системы автоматического регулирования линейного уравнения - отрицание фактических частей всех корней характеристического уравнения. Тем самым, это можно найти из передаточной функции системы с замыкающим контуром, соединяющего вход и выход, приравнивая знаменатель функции к нулю.
Критерий Рауса - Гурвица получил наибольшее распространение среди других алгебраических критериев, он был предложен сначала Е.Раусом, потом А. Гурвицем, под конец 19 века.
Критерий устойчивости Гурвица: алгоритм расчета
Далее мы рассмотрим критерий устойчивости, предложенный Гурвицем. Если все коэффициенты i-го уравнения положительны, а все показатели до порядка n-1 больше 0, то система устойчивая. Далее посмотрим, как построить алгоритм Гурвица △ с помозью следующих коэффициентов: Для старшего определителя первого порядка коэффициенты устанавливаются по диагонали в порядке увеличения индекса слева направо: 
… 
. От каждого коэффициента на главной диагонали вертикально вверх записываются коэффициенты с последовательно возрастающими индексами, а вниз — коэффициенты с последовательно убывающими индексами. Кроме того, столбцы попеременно состоят из коэффициентов только с нечетными или только с четными индексами. Коэффициенты с индексом больше n и меньше 0 устанавливаются равными нулю. Определитель Гурвица — это диагональный определитель n-мерной квадратной матрицы:
Рисунок 1 – Таблица Гурвица
Чтобы конкретная система автоматического управления была устойчивой, все диагональные миноры должны иметь положительный характер. Такие миноры называются определителями Гурвица. Для уравнений более высокого порядка, порядок определителя увеличивается, и фактический расчет становится более трудным. Критерий устойчивости Рауса-Гурвица лучше всего использовать для уравнений порядка 4, 5 или меньше.
Критерий устойчивости Рауса
Критерий устойчивости Рауса заключается в использовании специальной системы автоматического регулирования в виде алгоритма, с помощью которого таблица заполняется коэффициентами следующего уравнения:
Первая часть таблицы заполнена коэффициентами, которые имеют четные индексы характеристического уравнения. Вторая часть содержит коэффициенты с нечетными индексами. Число строк таблицы Рауса на одну выше порядка уравнения n+1. Остальные показатели таблицы определяются так:
Для стабильной работы специальной системы автоматического управления таблицы Рауса, коэффициенты первых столбцов 
, 
, 
… , должны иметь одинаковый знак и быть положительными при 
.
Система считается неустойчивой, если в первом столбце коэффициенты не все положительны, а количество правых корней ровняется числу перемен знака.
Рисунок 2 – Таблица Рауса
Давайте проанализируем уравнения разных порядков, которые мы уже обсуждали. Критерий стабильности линейных и квадратных уравнений предполагает, что в уравнение имеется положительный коэффициент и что это необходимое и достаточное условие. Следовательно, условие устойчивости: 
Уравнение третьей степени имеет вид: 
Уравнение четвертой степени имеет вид: 
Все коэффициенты уравнения и определители Гурвица, должны быть положительными, что для устойчивости системы будет достаточно 
Примеры применения критерия Рауса-Гурвица
№ 1. Построим главный определитель системы Рауса - Гурвица, характеризуем его следующим характерным уравнением:
Используя правило составления основного определителя Рауса-Гурвица, мы получим:
№ 2. Исследование на стабильность нулевых решений уравнения
y’’’’+5y’’’+13y’’+19y’+10y=0
Составляем характеристическое уравнение
Здесь 
=1,
=5, 
=13,
=19,
=10. Записываем диагональные миноры Гурвица:
Поэтому, 
, 
Таким образом тривиальное решение уравнения y=0 абсолютно устойчиво. Вычисление возможно, организовать таким образом. Чтобы начать составить старший минор Гурвица, 
. по которому можно легко выписать все младшие миноры 
а затем начинать вычисление последовательно 
, 
и т.д. Если встречается отрицательный минор, то решение неустойчиво и считать дальше считать не надо.
№ 3. Разберем систему с следующим уравнением: 
, а потом создаем таблицу Рауса-Гурвица:
Все элементы 1-го столбца положительные, а все элементы 2-го столбца не нулевые. Таким образом, система стабильна.
Достоинства и недостатки критерия Рауса-Гурвица
Преимуществом критерия Рауса является то, что он легко применяется вне независимости от порядка характеристического уравнения. Также можно пользоваться на компьютере. Недостаток заключается в том, что сложно определить уровень стабильности системы, то есть насколько она далека от предела устойчивости. Недостаток критерия Гурвица - это то, что он также менее конкретен. Достоинство в том что он на электронно-вычислительной машине удобен в реализации. Он часто используется для того, чтобы определить влияния автоматической системы на ее уровень устойчивости.
Критерий Рауса-Гурвица имеет некоторые свойства: его можно применять для систем, любого числа переменных и также можно применять только для линейных стационарных систем с постоянными коэффициентами. Но также этот критерий имеет свои ограничения, например: нельзя применять его в системах с задержкой, также нельзя применять его и в системах с нелинейными элементами.
Заключение
Подводя итог сказанного, можно сделать вывод что, алгебраические критерии Рауса-Гурвица - эффективный метод оценки устойчивости линейных систем. Анализируя характеристическое уравнение, можно определить степень устойчивой системы и неустойчивости. Критерий Рауса-Гурвица является тоже полезным инструментом для анализа устойчивости системы, что позволяет быть по разному использован в областях автоматики и управления.
1. Chetaev N.G. Ustoychivost' dvizheniya. — Moskva: Nauka, 1965. — 234 s.
2. Goncharov A. A. Algebraicheskie kriterii ustoychivosti sistem differencial'nyh uravneniy. — M.: Nauka, 1983 g.
3. Chelevskiy L. V. Differencial'nye uravneniya i variacionnoe ischislenie. — M.: Nauka, 1970.
4. Zubov V. I. Vvedenie v teoriyu lineynyh differencial'nyh uravneniy s periodicheskimi koefficientami. — M.: Nauka, 1971.
5. Samarskiy A. A. Teoriya differencial'nyh uravneniy matematicheskoy fiziki. — M.: Nauka, 1989.
6. Pestov O. Ustoychivost' dvizheniya. — M.: Fizmatlit, 2007.
7. Fracheskini A. L. Stabil'nost' dvizheniya: priblizhennye metody. — M.: Mir, 1966.
8. Gurvic M. K. On the Stabilization of Linear Systems. — Quarterly of Applied Mathematics, Tom 10, Vypusk 2, 1952, s. 47-55.
9. Lakin S. V. Ob ustoychivosti dvizheniya. — M.: Fizmatlit, 2003.
10. Gurvich M. M. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. 1960.
11. Gurvich L. I. Avtomaticheskoe upravlenie. 1970.
12. Zav'yalov V. B. Avtomaticheskoe upravlenie: lekcii. 1970.
13. Krasovskiy Yu.B. Teoriya sistem avtomaticheskogo upravleniya. 1960.
14. Lur'e A. I. Analiz i sintez nelineynyh sistem avtomaticheskogo upravleniya. – M., 1980. – S. 150-200.
15. Poluektov A.V., Makarenko F.V., Yagodkin A.S. Ispol'zovanie storonnih bibliotek pri napisanii programm dlya obrabotki statisticheskih dannyh // Modelirovanie sistem i processov. – 2022. – T. 15, № 2. – S. 33-41.
