Россия
Россия
Россия
Россия
В работе дано определение алгебраического критерия устойчивости Рауса-Гурвица (Raus-Hurwitz). Рассматривается его принцип работы, примеры применения, достоинства, недостатки и свойства. В статье рассказывается о том, как критерии предоставляют определенный метод устойчивости системы на основе характеристического уравнения.
Принцип работы критерия устойчивости, определение критерия, уравнения степеней, примеры применения критерия, достоинства и недостатки
Введение
Начнем с того что нам нужно рассмотреть и разобраться в алгебраическом критерий устойчивости Рауса-Гурвица. Критерий стабильности Рауса-Гурвица это интересная математическая процедура, которая позволит нам оценить находятся ли какие либо корни линейного многочлена в правой полуплоскости. Таким образом это имеет очевидное применение в разработке систем управления, потому что мы знаем, что характеристическим уравнением для большинства фактически для всех линейных систем, является линейные многочлены и его корни определяют стабильность, производительность и характеристики системы. Но сам метод не указывает на степень стабильности или нестабильности, из-за этого эти критерии объединяют.
Критерий алгебраической устойчивости: описание, особенности и примеры
Теперь, когда мы поняли, о чем наша статья, давайте разберем определение критерия алгебраической устойчивости. Что же такое стабильность? Устойчивость представляет собой способность автоматического управления вернуться после недолгой внешней нагрузки к исходному состоянию. Достаточное условие устойчивости системы автоматического регулирования линейного уравнения - отрицание фактических частей всех корней характеристического уравнения. Тем самым, это можно найти из передаточной функции системы с замыкающим контуром, соединяющего вход и выход, приравнивая знаменатель функции к нулю.
Критерий Рауса - Гурвица получил наибольшее распространение среди других алгебраических критериев, он был предложен сначала Е.Раусом, потом А. Гурвицем, под конец 19 века.
Критерий устойчивости Гурвица: алгоритм расчета
Далее мы рассмотрим критерий устойчивости, предложенный Гурвицем. Если все коэффициенты i-го уравнения положительны, а все показатели до порядка n-1 больше 0, то система устойчивая. Далее посмотрим, как построить алгоритм Гурвица △ с помозью следующих коэффициентов: Для старшего определителя первого порядка коэффициенты устанавливаются по диагонали в порядке увеличения индекса слева направо: 
… 
. От каждого коэффициента на главной диагонали вертикально вверх записываются коэффициенты с последовательно возрастающими индексами, а вниз — коэффициенты с последовательно убывающими индексами. Кроме того, столбцы попеременно состоят из коэффициентов только с нечетными или только с четными индексами. Коэффициенты с индексом больше n и меньше 0 устанавливаются равными нулю. Определитель Гурвица — это диагональный определитель n-мерной квадратной матрицы:
Рисунок 1 – Таблица Гурвица
Чтобы конкретная система автоматического управления была устойчивой, все диагональные миноры должны иметь положительный характер. Такие миноры называются определителями Гурвица. Для уравнений более высокого порядка, порядок определителя увеличивается, и фактический расчет становится более трудным. Критерий устойчивости Рауса-Гурвица лучше всего использовать для уравнений порядка 4, 5 или меньше.
Критерий устойчивости Рауса
Критерий устойчивости Рауса заключается в использовании специальной системы автоматического регулирования в виде алгоритма, с помощью которого таблица заполняется коэффициентами следующего уравнения:
Первая часть таблицы заполнена коэффициентами, которые имеют четные индексы характеристического уравнения. Вторая часть содержит коэффициенты с нечетными индексами. Число строк таблицы Рауса на одну выше порядка уравнения n+1. Остальные показатели таблицы определяются так:
Для стабильной работы специальной системы автоматического управления таблицы Рауса, коэффициенты первых столбцов 
, 
, 
… , должны иметь одинаковый знак и быть положительными при 
.
Система считается неустойчивой, если в первом столбце коэффициенты не все положительны, а количество правых корней ровняется числу перемен знака.
Рисунок 2 – Таблица Рауса
Давайте проанализируем уравнения разных порядков, которые мы уже обсуждали. Критерий стабильности линейных и квадратных уравнений предполагает, что в уравнение имеется положительный коэффициент и что это необходимое и достаточное условие. Следовательно, условие устойчивости: 
Уравнение третьей степени имеет вид: 
Уравнение четвертой степени имеет вид: 
Все коэффициенты уравнения и определители Гурвица, должны быть положительными, что для устойчивости системы будет достаточно 
Примеры применения критерия Рауса-Гурвица
№ 1. Построим главный определитель системы Рауса - Гурвица, характеризуем его следующим характерным уравнением:
Используя правило составления основного определителя Рауса-Гурвица, мы получим:
№ 2. Исследование на стабильность нулевых решений уравнения
y’’’’+5y’’’+13y’’+19y’+10y=0
Составляем характеристическое уравнение
Здесь 
=1,
=5, 
=13,
=19,
=10. Записываем диагональные миноры Гурвица:
Поэтому, 
, 
Таким образом тривиальное решение уравнения y=0 абсолютно устойчиво. Вычисление возможно, организовать таким образом. Чтобы начать составить старший минор Гурвица, 
. по которому можно легко выписать все младшие миноры 
а затем начинать вычисление последовательно 
, 
и т.д. Если встречается отрицательный минор, то решение неустойчиво и считать дальше считать не надо.
№ 3. Разберем систему с следующим уравнением: 
, а потом создаем таблицу Рауса-Гурвица:
Все элементы 1-го столбца положительные, а все элементы 2-го столбца не нулевые. Таким образом, система стабильна.
Достоинства и недостатки критерия Рауса-Гурвица
Преимуществом критерия Рауса является то, что он легко применяется вне независимости от порядка характеристического уравнения. Также можно пользоваться на компьютере. Недостаток заключается в том, что сложно определить уровень стабильности системы, то есть насколько она далека от предела устойчивости. Недостаток критерия Гурвица - это то, что он также менее конкретен. Достоинство в том что он на электронно-вычислительной машине удобен в реализации. Он часто используется для того, чтобы определить влияния автоматической системы на ее уровень устойчивости.
Критерий Рауса-Гурвица имеет некоторые свойства: его можно применять для систем, любого числа переменных и также можно применять только для линейных стационарных систем с постоянными коэффициентами. Но также этот критерий имеет свои ограничения, например: нельзя применять его в системах с задержкой, также нельзя применять его и в системах с нелинейными элементами.
Заключение
Подводя итог сказанного, можно сделать вывод что, алгебраические критерии Рауса-Гурвица - эффективный метод оценки устойчивости линейных систем. Анализируя характеристическое уравнение, можно определить степень устойчивой системы и неустойчивости. Критерий Рауса-Гурвица является тоже полезным инструментом для анализа устойчивости системы, что позволяет быть по разному использован в областях автоматики и управления.
1. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. — Москва: Наука, 1965. — 234 с.
2. Гончаров А. А. Алгебраические критерии устойчивости систем дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1983 г.
3. Челевский Л. В. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1970.
4. Зубов В. И. Введение в теорию линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. — М.: Наука, 1971.
5. Самарский А. А. Теория дифференциальных уравнений математической физики. — М.: Наука, 1989.
6. Пестов О. Устойчивость движения. — М.: Физматлит, 2007.
7. Фраческини А. Л. Стабильность движения: приближенные методы. — М.: Мир, 1966.
8. Гурвиц М. К. On the Stabilization of Linear Systems. — Quarterly of Applied Mathematics, Том 10, Выпуск 2, 1952, с. 47-55.
9. Лакин С. В. Об устойчивости движения. — М.: Физматлит, 2003.
10. Гурвич М. М. Теория автоматического управления. 1960.
11. Гурвич Л. И. Автоматическое управление. 1970.
12. Завьялов В. Б. Автоматическое управление: лекции. 1970.
13. Красовский Ю.Б. Теория систем автоматического управления. 1960.
14. Лурье А. И. Анализ и синтез нелинейных систем автоматического управления. – М., 1980. – С. 150-200.
15. Полуэктов А.В., Макаренко Ф.В., Ягодкин А.С. Использование сторонних библиотек при написании программ для обработки статистических данных // Моделирование систем и процессов. – 2022. – Т. 15, № 2. – С. 33-41.
